25~26高三下·山东济宁一模·第14题

$\boldsymbol{(0,\ln 3]}$

函数$f(x) = \begin{cases} x+2, & x \le 0 \ \ln(x+1), & x > 0 \end{cases}$在$(-\infty,0]$上单调递增，$f(x) \le 2$；在$(0,+\infty)$上单调递增，$f(x) > 0$.

当$x+2 \le 0$，即$x \le -2$时：
$f(f(x)) = (x+2)+2 = x+4$，且$f(f(x)) \le 2$.

当$-2 < x \le 0$，即$0 < f(x) \le 2$时：
$f(f(x)) = \ln[(x+2)+1] = \ln(x+3)$，且$f(f(x)) \le \ln 3$.

当$x > 0$，即$f(x) > 0$时：
$f(f(x)) = \ln[\ln(x+1)+1]$，且$f(f(x)) > 0$.

因此：
$
f(f(x)) = \begin{cases}
x+4, & x \le -2 \
\ln(x+3), & -2 < x \le 0 \ \ln[\ln(x+1)+1], & x > 0
\end{cases}
$

在坐标系内作出函数$y = f(f(x))$和$y = m$的图像，如图所示.

关于$x$的方程$f(f(x)) = m$恰有三个不相等的实数根，则$0 < m \le \ln 3$.

所以实数$m$的取值范围是$\boldsymbol{(0,\ln 3]}$.