25~26高三下·广东汕头一模·第8题

A

首先比较$a,b$的大小,

令$f(x) = x – \cos x$，$x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，

求导得$f'(x) = 1 + \sin x > 0$在$x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上恒成立，

故$f(x)$在$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上单调递增.

由$a = \cos a$，得$f(a) = a – \cos a = 0$.

又$\sin x < x$在$x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上恒成立，且$b \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，

故$\cos b \in (0,1] \subseteq \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，因此$b = \sin(\cos b) < \cos b$,

即$b – \cos b < 0$，也就是$f(b) < 0 = f(a)$.

结合$f(x)$单调递增，得$b < a$.

其次比较$a,c$的大小，
令$h(x) = \cos(\sin x) – x$，$x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，

求导得$h'(x) = -\sin(\sin x)\cos x – 1$,

因为$x \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，
所以$\sin x \in (0,1] \subseteq \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，

故$\sin(\sin x) > 0$且$\cos x > 0$，

因此$h'(x) < 0$,即$h(x)$在$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上单调递减.

由$c = \cos(\sin c)$，得$h(c) = \cos(\sin c) – c = 0$.

又$\sin a < a$，且$y = \cos x$在$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$上单调递减，

故$\cos(\sin a) > \cos a = a$

即$h(a) = \cos(\sin a) – a > 0 = h(c)$.

结合$h(x)$单调递减，得$a < c$.

综合$b < a$以及$a < c$，得$b < a < c$.

故选:A.