25~26高三下·广东佛山南海区一模·第14题

$\dfrac{1}{2}$

设$t$为$f(x)$在$[1, +\infty)$上的零点，则$t^3 + at + b = 0$，即点$(a, b)$在直线$tx + y + t^3 = 0$上.

又$a^2 + b^2$为点$(a, b)$到原点的距离的平方，原点到直线$tx + y + t^3 = 0$的距离为$\dfrac{t^3}{\sqrt{t^2 + 1}}$，

因此$\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac{t^3}{\sqrt{t^2 + 1}}$，

即$a^2 + b^2$的最小值即为$\dfrac{t^6}{t^2 + 1}$在$t \in [1, +\infty)$上的最小值.

令函数$g(t) = \dfrac{t^6}{t^2 + 1},\ t \ge 1$，求导得：
$$
g'(t) = \dfrac{6t^5(t^2 + 1) – t^6 \cdot 2t}{(t^2 + 1)^2} = \dfrac{4t^7 + 6t^5}{(t^2 + 1)^2} > 0
$$
函数$g(t)$在$[1, +\infty)$上单调递增，则$g(t)_{\min} = g(1) = \dfrac{1}{2}$，即$a^2 + b^2 \ge \dfrac{1}{2}$.

所以$a^2 + b^2$的最小值为$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$.