设正整数$n = a_0\cdot2^0 + a_1\cdot2^1 + \dots + a_{k-1}\cdot2^{k-1} + a_k\cdot2^k$，其中$a_i \in {0,1}, i=0,1,2,\dots,k$.记$\omega(n) = a_0 + a_1 + \dots + a_k$.从集合{$x\in \mathbf{N}^*\mid x\leq 2000$}中随机抽取一个数$n$，则$\omega(n)\leq 3$的概率为______.
组合计数破局，二进制限定条件概率！
$\boldsymbol{\dfrac{231}{2000}}$
$n \leq 2000 < 2048 = 2^{11} \Rightarrow n$的二进制表示最多有$11$位，也就是从$2^0$到$2^{10}$.
$\omega(n)$为$n$的二进制表示中$1$的个数，$\omega(n)\leq 3 \Rightarrow n$的二进制表示中$1$的个数不超过$3$.
当$\omega(n)=3$时，取得最大值为$n_{\max} = 2^{10} + 2^9 + 2^8 = 1792$.
$\because 1792 \leq 2000 \Rightarrow$ 满足条件的$n$均不超过$2000$.
$\omega(n)=1 \Rightarrow n$的个数为$\mathrm{C}_{11}^1 = 11$.
$\omega(n)=2 \Rightarrow n$的个数为$\mathrm{C}_{11}^2 = 55$.
$\omega(n)=3 \Rightarrow n$的个数为$\mathrm{C}_{11}^3 = 165$.
满足条件的$n$的个数为$11+55+165 = 231$.
故所求概率$P = \dfrac{231}{2000}$.
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