25~26高三下·安徽池州二模·第8题

D

令$y=0$可得：
$f(f(x)) + f(f(0)) = f(x) + 3
$，

再令$t = f(x)$，可得：
$f(t) = t + 3 – f(f(0))
$

即函数$f(x)$为一次函数.

设$f(x) = kx + b$，代入原等式$f(f(x)) + f(f(y)) = f(x+y) + 3$，

左边:$f(f(x)) + f(f(y))$$= k(kx + b) + b + k(ky + b) + b$$= k^2(x + y) + 2kb + 2b$，

右边:$f(x+y) + 3 = k(x + y) + b + 3$，

对比系数得方程组：
$\begin{cases}
k^2 = k \
2kb + 2b = b + 3
\end{cases}$,

若$k=0$，得$b=3$，$f(x)=3$，与$x$轴无交点，舍去；

若$k=1$，得$b=1$，即$f(x) = x + 1$，验证满足原等式.

已知$f(x_0) = 0$，即$x_0 + 1 = 0$，得$x_0 = -1$.

选项A：$x_0 = 0$，错误；
选项B：$f(1) = 1 + 1 = 2 \neq 3$，错误；
选项C：$f(x+1) = (x+1) + 1 = x + 2$，不是奇函数，错误；
选项D：令$g(x) = f(x-1)$$= (x-1) + 1 = x$，定义域为$R$，满足$g(-x)=-x=-g(x)$，是奇函数，正确.

故选：D.