25~26高三下·广东梅州一模·第14题

$\boldsymbol{2^{n+1}+1}$；$\boldsymbol{3^n}$

因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，

所以经第$n+1$次扩充后增加的项数为$P_n – 1$，
因此：
$
P_{n+1} = P_n + (P_n – 1) = 2P_n – 1
$

变形得：
$
P_{n+1} – 1 = 2(P_n – 1)
$

已知$P_1 = 5$，则数列${P_n – 1}$是以$4$为首项，公比为$2$的等比数列，

故：
$
P_n – 1 = 4 \times 2^{n-1} = 2^{n+1}
$
即：
$
P_n = 2^{n+1} + 1
$

设第$n$次扩充后数列的各项为$-3,a_1,a_2,\dots,a_t,3$，
则：
$
S_n = -3 + a_1 + a_2 + \dots + a_t + 3
$

因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，

所以：
$
\begin{align} S_{n+1} &= -3 + (-3+a_1) + a_1 + (a_1+a_2) + a_2 +\dots + a_t + (a_t+3) + 3 \ &= -3 \times 2 + 3a_1 + 3a_2 + \dots + 3a_t + 3 \times 2 \ &= 3(-3 + a_1 + a_2 + \dots + a_t + 3) – (-3 + 3) \ &= 3S_n \end{align}
$

又$S_1 = 2 \times (-3) + 3 \times 1 + 2 \times 3 = 3$，

故${S_n}$是首项为$3$，公比为$3$的等比数列，

因此：
$
S_n = 3^n
$

综上，$\boldsymbol{P_n = 2^{n+1} + 1}$，$\boldsymbol{S_n = 3^n}$.