25~26高三下·山东东营一模·第14题

$\boldsymbol{\dfrac{5}{6}}$

设甲制作的卡片为$A,a$；乙制作的卡片为$B,b$；丙制作的卡片为$C,c$.

$X=1$代表三人只有一人至少取回一张自己的卡片，
有$\mathrm{C}_3^1$种情况；不妨设是甲至少取回一张自己的卡片；

当甲只取回一张自己的卡片时，有$\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_4^1$种；
例如：甲取到的卡片为$A,B$，此时丙不能取$C,c$，
只能取$a,b$，即甲取回一张自己的卡片时，样本数为$\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_4^1$；

当甲取回两张自己的卡片时，此时乙与丙只能相互交换，
即有$\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^2$种；而总样本空间为甲、乙、丙三人各自任取两张卡片，即$\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2$，

所以
$
P(X=1)$$= \frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_4^1 + \mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2}$$= \frac{27}{90} = \frac{3}{10}
$，

$X=2$代表三人有两人至少取回一张自己的卡片，
即有一个人没有取回自己的卡片，有$\mathrm{C}_3^1$种情况；

不妨设是丙没有取回自己的卡片，则丙要在$A,a,B,b$四张中取两个，
显然丙不能取$A,a$或$B,b$，所以有$\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1$种取法，
例如：丙取的是$A,B$，则甲留下$a$，只能在$C,c$中取一个，即$\mathrm{C}_2^1$种，剩下两张给乙，
即共有$\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1$种，所以
$
P(X=2) = \frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}
$

所以$P(X=1) + 2P(X=2)$$= \frac{3}{10} + 2\times\frac{4}{15} = \frac{5}{6}$.