25~26高三下·广东汕头一模·第14题

$\boldsymbol{10^\circ}$

不妨设$AB=2$，因为$\angle A=100^\circ$，故$\angle ABC=40^\circ$，所以$BC=4\cos40^\circ$，
故$BD=4\cos40^\circ-2$，设$\angle BCD=\alpha(0^\circ < \alpha < 40^\circ)$，则$\angle BDC=40^\circ-\alpha$，

在$\triangle BCD$中，由正弦定理有：
$\frac{4\cos40^\circ-2}{\sin\alpha} = \frac{4\cos40^\circ}{\sin(40^\circ-\alpha)}$

所以$
\frac{\sin(40^\circ-\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{\cos40^\circ}{\cos40^\circ-\cos60^\circ}
$

$
= \frac{\cos40^\circ}{\cos(50^\circ-10^\circ)-\cos(50^\circ+10^\circ)}$$= \frac{\cos40^\circ}{2\sin50^\circ\sin10^\circ}$$= \frac{1}{2\sin10^\circ}$，

所以$2\sin(40^\circ-\alpha)\sin10^\circ=\sin\alpha$，即
$
2\sin\left(\frac{2\pi}{9}-\alpha\right)\sin\frac{\pi}{18} = \sin\alpha
$，

设$f(x)=2\sin\left(\frac{2\pi}{9}-x\right)\sin\frac{\pi}{18}-\sin x$，其中$0 < x < \frac{2\pi}{9}$， 因为$0 < \frac{2\pi}{9}-x < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{18}>0$，
故$y=2\sin\left(\frac{2\pi}{9}-x\right)\sin\frac{\pi}{18}$在$\left(0,\frac{2\pi}{9}\right)$上为减函数，
而$y=-\sin x$在$\left(0,\frac{2\pi}{9}\right)$上为减函数，故$f(x)$在$\left(0,\frac{2\pi}{9}\right)$上为减函数，

而$f\left(\frac{\pi}{18}\right)=2\sin\left(\frac{2\pi}{9}-\frac{\pi}{18}\right)\sin\frac{\pi}{18}-\sin\frac{\pi}{18}=0$，
故$2\sin\left(\frac{2\pi}{9}-\alpha\right)\sin\frac{\pi}{18}=\sin\alpha$有唯一解$\frac{\pi}{18}$，故$\alpha=\frac{\pi}{18}=10^\circ$.