25~26高三下·江西重点中学盟校联考·第8题

$\boldsymbol{C}$

令$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，$g(x)=\ln2-\dfrac{\ln2}{4}x$，其中$x>0$，
则$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$， 当$x\in(0,\mathrm{e})$时，$f'(x)>0$，
当$x\in(\mathrm{e},+\infty)$时，$f'(x)<0$，
所以函数$f(x)$在$(0,\mathrm{e})$上单调递增，在$(\mathrm{e},+\infty)$上单调递减，函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减.

所以$\exists m\in\mathbf{R}$使得不等式$\left(\dfrac{\ln x}{x}-m\right)\left(\ln2-\dfrac{\ln2}{4}x-m\right)\leq0$对任意$x\in(0,a)$恒成立等价于$\exists m\in\mathbf{R}$使得不等式$\min{f(x),g(x)}\leq m\leq\max{f(x),g(x)}$对任意$x\in(0,a)$恒成立.

令$f(x)=g(x)$得$x=2$，由图可知$m=f(2)=\dfrac{\ln2}{2}=\dfrac{\ln4}{4}=f(4)$，

因此实数$a$的最大值为$\boldsymbol{4}$.