25~26高三下·云南昆明二模·第14题

$4$

在$y=f(x)$图像上任取三点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，且$x_1 < x_2 < x_3$，要使这三点构成钝角三角形，最容易满足的条件是中间点$B$处的角为钝角.

因为$x_1 < x_2 < x_3$，若有$y_1 < y_2 < y_3$即$f(x)$为单调递增函数，则有$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$$=(x_1-x_2)(x_3-x_2)$$+(y_1-y_2)(y_3-y_2) < 0$，
同时要排除三点共线的情况，这意味着$f(x)$是严格凸或严格凹的即$f”(x)\geq0$或$f”(x)\leq0$恒成立.

$f'(x)=\dfrac{k}{x+1}-\mathrm{e}^{1-x}$，
$f”(x)=-\dfrac{k}{(x+1)^2}+\mathrm{e}^{1-x}$，

当$x\to -1^+$时$-\dfrac{k}{(x+1)^2}\to -\infty$，$\mathrm{e}^{1-x}\to \mathrm{e}^2$，所以$f”(x)\to -\infty$，所以应保证$f”(x)=-\dfrac{k}{(x+1)^2}+\mathrm{e}^{1-x}\leq0$恒成立，分离参数得
$k\geq (x+1)^2\mathrm{e}^{1-x}$，

设$g(x)=(x+1)^2\mathrm{e}^{1-x}$，$x>-1$，则$g'(x)=2(x+1)\mathrm{e}^{1-x}-(x+1)^2\mathrm{e}^{1-x}=(x+1)(1-x)\mathrm{e}^{1-x}$，

当$-1 < x < 1$时，$g'(x)>0$；当$x>1$时，$g'(x) < 0$；当$x=1$时，$g'(x)=0$，$g(x)$取极大值也即最大值$g(1)=(1+1)^2\mathrm{e}^{1-1}=4$，

所以$k\geq4$，此时$f'(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减，且当$x\to +\infty$时$f'(x)=\dfrac{k}{x+1}-\mathrm{e}^{1-x}\to0$，所以$f'(x)>0$恒成立，

故$f(x)$为单调递增函数，由前面分析可知这样就能保证$\angle B$为钝角，因为$k\in\mathbf{N^*}$，所以$k$的最小值为$\boldsymbol{4}$.