25~26高三下·浙江宁波二模·第8题

D

$\therefore f(x)$在$[-2,0)$和$(0,+\infty)$单调递增，其简要图形如下：

设$f(f(a))=f(f(b))=f(f(c))=t$，即方程$f(f(x))=t$有三个不同的实数解$a,b,c$，
又当$t\ge0$时，$f(x)=t$有两个不同的实数解；$t < 0$时，$f(x)=t$只有一个实数解，
所以$f(f(x))=t$有三个不同的实数解，当且仅当$f(x)=t$有两个不同的实数解$x_1,x_2$，
且$t\ge0$，$-\dfrac{2}{x_1}-1=t$，$\ln x_2=t$，解得$x_1=\dfrac{2}{-1-t}\in[-2,0)$，$x_2=\mathrm{e}^t\in[1,+\infty)$，
$f(x)=x_1,f(x)=x_2$时，即$\ln x=x_1$，$-\dfrac{2}{x}-1=x_2$，$\ln x=x_2$，
不妨设$a < b < c$，
则$f(a)=f(c)=x_2$，$f(b)=x_1$，
即$-\dfrac{2}{a}-1=x_2$，$\ln c=x_2$，$\ln b=x_1$，
解得$a=\dfrac{2}{-1-x_2}$，$c=\mathrm{e}^{x_2}$，$b=\mathrm{e}^{x_1}$，
$a+b+c=\dfrac{2}{-1-x_2}+\mathrm{e}^{x_1}+\mathrm{e}^{x_2}$$=\dfrac{2}{-1-\mathrm{e}^t}+\mathrm{e}^{\frac{2}{-1-t}}+\mathrm{e}^{\mathrm{e}^t}$，
又$y=\dfrac{2}{-1-\mathrm{e}^t}$，$y=\mathrm{e}^{\frac{2}{-1-t}}$，$y=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^t}$在$t\in[0,+\infty)$上单调递增，
$\therefore t=0$时，$[a+b+c]_{\min}=\dfrac{2}{-1-1}+\mathrm{e}^{\frac{2}{-1}}+\mathrm{e}^1$$=\mathrm{e}-1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$.