25~26高三下·广州二模·第8题

B

函数$f(x) = x^3 + ax + b$的定义域为$\mathbb{R}$，求导得$f'(x) = 3x^2 + a$，
当$a \ge 0$时，$f'(x) \ge 0$恒成立，函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增，最多一个零点，不符合题意；
当$a < 0$时，由$f'(x) < 0$，得$-\sqrt{-\dfrac{a}{3}} < x < \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$；由$f'(x) > 0$，得$x < -\sqrt{-\dfrac{a}{3}}$或$x > \sqrt{-\dfrac{a}{3}}$，
令$\sqrt{-\dfrac{a}{3}} = t > 0$，则函数$f(x)$在$(-t, t)$上单调递减，在$(-\infty, -t)$，$(t, +\infty)$上单调递增，
当$x = -t$时，函数$f(x)$取得极大值$f(-t) = 2t^3 + b$，
当$x = t$时，函数$f(x)$取得极小值$f(t) = -2t^3 + b$，
而当$x \to -\infty$时，$f(x) \to -\infty$，当$x \to +\infty$时，$f(x) \to +\infty$，
由函数$f(x)$有且仅有两个零点，得$f(-t) = 0$，即$b = -2t^3$，或$f(t) = 0$，即$b = 2t^3$，
则$a + b^2 = -3t^2 + 4t^6$，令$t^2 = u > 0$，则$a + b^2 = -3u + 4u^3$，令函数$g(u) = 4u^3 – 3u, u > 0$，
求导得$g'(u) = 12u^2 – 3 = 3(2u + 1)(2u – 1)$，当$0 < u < \dfrac{1}{2}$时，$g'(u) < 0$；当$u > \dfrac{1}{2}$时，$g'(u) > 0$，
函数$g(u)$在$\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$上单调递增，$g(u)_{\min} = g\left(\dfrac{1}{2}\right) = -1$，
所以$a + b^2$的最小值为$-1$。