25~26高三下·深圳二模·第14题

$\boldsymbol{\dfrac{6}{5}}$

如图，设所求圆的圆心为$P$，连接$PB$，$PO$，设点$P(x,y)$，

由于$|OP|=4-r=4-|PB|$，则$|PB|+|PO|=4(>|OB|=2)$，
于是点$P$的轨迹是以$O,B$为焦点的椭圆，从而椭圆的中心为$(1,0)$，
于是设点$P$的轨迹方程为：$\dfrac{(x-1)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，
其中$\begin{cases}2a=4\2c=2\end{cases}$，则$b=\sqrt{3}$，椭圆方程为$\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$.

由于直线$AB$始终与$x^2+y^2=1$有公共点$A$，不妨设$PB$的倾斜角为$\theta$，如图，$\theta>\dfrac{\pi}{2}$才能取到最小值.
当$\theta>\dfrac{\pi}{2}$时，由于直线$AB$与圆相切，即$AB\perp PB$，则$\theta-\dfrac{\pi}{2}=\angle OBA$.
设直线$BH$与圆$O$相切，由$OH=1$，$OB=2$，则$\theta-\dfrac{\pi}{2}=\angle OBA\le\angle OBH=\dfrac{\pi}{6}$，从而$\dfrac{\pi}{2}<\theta\le\dfrac{2\pi}{3}$.

由焦半径公式可知$r=|PB|=\dfrac{\dfrac{b^2}{a}}{1-e\cos\theta}$$\ge\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}}=\dfrac{6}{5}$.