25~26高三下·金华十校·第14题

$\dfrac{\pi^2}{2}$

$\cos a = \sin b = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-b\right)$，
$\therefore a = \dfrac{\pi}{2}-b + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ 或 $a = -\dfrac{\pi}{2}+b + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$，
即$b = -a + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$ 或 $b = a – \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$，
故点$(a,b)$在如图直线族中，

$(a-c)^2 + (b-d)^2$表示点$(c,d)$与点$(a,b)$距离的平方，
又相邻两直线的距离$d = \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi$，
所以$(a-c)^2 + (b-d)^2$的最小值$M \le \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{2}$，
故$M$的最大值为$\dfrac{\pi^2}{2}$.