2026高考全国I卷第14题

$\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$

【解法一】令$T_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}$，由题意得$T_n=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n$，
因此每个三项块和$T_n$为$2n$.

设这9项为$x,xq,xq^2,\dots,xq^8$，记$C=1+q+q^2$. 由于$C>0$，且完整三项块和均为正，
下面按$k$除以$3$的余数讨论.

若$k=3m+1(m\ge 0)$，这9项正好包含三个完整三项块，
得$xC=2(m+1)$，$xq^3C=2(m+2)$，$xq^6C=2(m+3)$，
于是$q^3=\dfrac{m+2}{m+1}$且$q^3=\dfrac{m+3}{m+2}$，矛盾，故这种起点不存在.

若$k=3m+2(m\ge 0)$，其中两个完整三项块为第$m+2$块，第$m+3$块，
得$xq^2C=2(m+2)$，$xq^5C=2(m+3)$，所以$q^3=\dfrac{m+3}{m+2}\le \dfrac{3}{2}$.

若$k=3m(m\ge 1)$，其中两个完整三项块为第$m+1$块，第$m+2$块，
得$xqC=2(m+1)$，$xq^4C=2(m+2)$，所以$q^3=\dfrac{m+2}{m+1}\le \dfrac{3}{2}$.

综上$q^3\le \dfrac{3}{2}$，所以$q\le \sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$，即$q$的最大值为$\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$.

【解法二】
记前$3n$项和$S_{3n}=n^2+n$，
对$n\ge 2$，$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=S_{3n}-S_{3(n-1)}$$=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n$
（做差得到每3个为一组的局部和），
当$n=1$时，$S_3=1^2+1=2$，也满足$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n$，
故$\forall n\in \mathbf{N}^{*}$，$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n$.

第$n$组三个数和$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}$记为三元组$T_n$，则$T_n=2n$，
现在分析连续9项覆盖完整三元组的情况：

(1) 排除恰好覆盖3个完整三元组：
若9项恰好是$T_n,T_{n+1},T_{n+2}$，三个组的和为$2n,2(n+1),2(n+2)$.
因为9项是公比$q$的等比数列，三个组的和满足$[2(n+1)]^2=2n\cdot 2(n+2)$，
化简得$1=0$，不存在$n\in \mathbf{N}^{*}$，所以这种情况不可能存在.

(2) 分析包含两个连续完整三元组的情况：
9项最多跨3个三元组，必然包含2个连续完整三元组+两端的部分项，设两个连续完整三元组为$T_a,T_{a+1}$.根据等比数列性质，两组和的比值就是$q^3$：$q^3=\dfrac{T_{a+1}}{T_a}=\dfrac{2(a+1)}{2a}=\dfrac{a+1}{a}=1+\dfrac{1}{a}$.要满足“两端都有部分项”，完整三元组不可能从第1组开始（$T_1$前没有多余项），
因此最小的$a=2$，对应$q^3=\dfrac{3}{2}$，$q=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$.

【解法三】
对$n\ge 2$，$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=S_{3n}-S_{3(n-1)}$$=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n$（做差得到每3个为一组的局部和），
当$n=1$时，$S_3=1^2+1=2$，也满足$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n$
故$\forall n\in \mathbf{N}^{*}$，$a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n$.

对于${a_n}$中有某连续9项$a_k,a_{k+1},\dots,a_{k+8}$.显然具体某项是不可知的，但一些连续三项和是可以确定的.

若前三项确定，那么中间三项和与最后三项和也确定，且成公差为2的等差数列，故不可能成等比，于是这9项不可能成等比，与已知条件矛盾.

那么中间7项一定存在连续6项分两组是确定的，这6项开头项假设为$a_{3n-2}$，显然$3n-2\ne 1$，
故$n\ge 2$，$n\in \mathbf{N}$，

那么这6项的前3个和为$2n$，后三个和为$2n+2$.

故$\dfrac{2n+2}{2n}=\dfrac{a_{3n+1}+a_{3n+2}+a_{3n+3}}{a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}}=q^3$$\implies q^3=1+\dfrac{1}{n}$.

$q^3=1+\dfrac{1}{n}$随$n$增大而减小.因为$n\ge 2$，故$(q^3)_{\max}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，
所以$q=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$.