25~26高三下·浙江宁波镇海中学5月模拟·第14题

$\dfrac{122}{243}$

记$n$次交换后黑球仍在甲手中的概率为$P_n$，则$P_0=1$，
若$n-1$次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中，概率为$P_{n-1}\cdot \dfrac{2}{3}$（甲共$3$个球，拿白球不换出黑球的概率为$\dfrac{2}{3}$）；
$n-1$次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中，概率为$(1-P_{n-1})\cdot \dfrac{1}{3}$（乙共$3$个球，拿出黑球的概率为$\dfrac{1}{3}$）；
所以$P_n=\dfrac{2}{3}P_{n-1}+\dfrac{1}{3}(1-P_{n-1})$$\Rightarrow P_n=\dfrac{1}{3}P_{n-1}+\dfrac{1}{3}$$\Rightarrow P_n-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\left(P_{n-1}-\dfrac{1}{2}\right)$，
故数列$\left{P_n-\dfrac{1}{2}\right}$是首项为$P_0-\dfrac{1}{2}$，公比为$\dfrac{1}{3}$的等比数列，
所以$P_n-\dfrac{1}{2}=\left(P_0-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$$\Rightarrow P_n=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1\right]$，
故$P_5=\dfrac{122}{243}$.