设$U=${$(x_1,x_2,x_3)\mid x_i \in ${$-2,-1,1,2$},$i=1,2,3$}为空间中$64$个点构成的集合，点$P(1,1,1)$，记样本空间$\Omega=\complement_U {P}$，从$\Omega$中随机取一个点，定义随机变量$X$如下：对$\Omega$中的每个点$A(x_1,x_2,x_3)$，令$X(A)=x_1+x_2+x_3$，则$X$的数学期望值为（ ）
A.$-\dfrac{1}{21}$ B.$-\dfrac{1}{63}$ C.$0$ D.$\dfrac{1}{7}$
巧用对称性速求期望，避开繁琐分布列
A
设全集$U$中所有点的坐标和为$S_U$.由于$x_i$的取值关于原点对称，故$U=${$(x_1,x_2,x_3)\mid x_i \in ${$-2,-1,1,2$}$,i=1,2,3$}也关于原点对称，正负坐标相互抵消，故$S_U=0$.
被挖去的点为$P(1,1,1)$，其坐标和为$S_P=1+1+1=3$.
剩余样本空间$\Omega$中所有点的坐标和为$S_\Omega=S_U-S_P=0-3=-3$.
根据数学期望的定义，随机变量$X$的期望为：$E(X)=\dfrac{\text{所有点的坐标和}}{\text{总点数}}=\dfrac{-3}{63}=-\dfrac{1}{21}$.
【点评】该解法既抓住了数学期望“样本总和除以样本容量”的定义本质，又充分利用全集坐标分布关于原点对称的隐含性质，直接将复杂计算简化为“原对称总和减去挖去点的坐标贡献，再除以剩余样本容量”，全程无需列举分布列、无需分类计数，仅需几步口算就能快速得出结果，是考场上效率最高的“秒杀解法”.
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