25~26高三上·深圳一模·第14题

$-4$

【题目】若函数$f(x)=x^4+4x^3+ax(a\in\mathbb{R})$的图象存在对称轴，则$f(x)$的最小值为_____．
【答案】$-4$

【解析】设$f(x)$的对称轴为$x=b$，则$f(2b-x)=f(x)$，

即$(2b-x)^4+4(2b-x)^3+a(2b-x)$$=x^4+4x^3+ax$，

化简得$(4b^2-4bx+x^2)^2+4(4b^2-4bx+x^2)(2b-x)$$+a(2b-x)=x^4+4x^3+ax$，

$(4b^2-4bx+x^2)(4b^2-4bx+x^2+8b-4x)$$+a(2b-x)=x^4+4x^3+ax$，

$-(8b+8)x^3+(24b^2+24b)x^2$$-(32b^3+48b^2+2a)x+16b^4+32b^3+2ab=0$，

故需满足$\begin{cases}8b+8=0\\24b^2+24b=0\\32b^3+48b^2+2a=0\\16b^4+32b^3+2ab=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-8\\b=-1\end{cases}$，

故$f(x)=x^4+4x^3-8x$，

令$x+1=t$，故$x=t-1$，

则$f(x)=g(t)=(t-1)^4+4(t-1)^3-8(t-1)$$=t^4-6t^2+5=(t^2-3)^2-4$，

故当$t^2=3$时，即$x=\pm\sqrt{3}-1$时，$f(x)=g(t)$取得最小值，最小值为$-4$．

故答案为：$-4$