25~26高一上·重庆西南大学附中期中·第14题

$(-\frac{1}{4},0]$

【题目】若定义在区间$[a,b]$$(a\lt b)$上的函数$f(x)=k-\sqrt{x+1}$值域为$[a,b]$，则实数$k$的取值范围是_____．

【答案】$(-\frac{1}{4},0]$
【解析】函数$f(x)=k-\sqrt{x+1}$在定义域$[-1,+\infty)$单调递减，
当$f(x)$的定义域为$[a,b]$时，$f(x)$的值域也为$[a,b]$，
故$f(a)=k-\sqrt{a+1}=b$①，$f(b)=k-\sqrt{b+1}=a$②，
②$-$①得：$\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}=a-b=(a+1)-(b+1)$$=(\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1})(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1})$，
因为$a\lt b$，所以$\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}\lt 0$，
即$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=1$，③
将③代入②，$k=\sqrt{b+1}+a=a+1-\sqrt{a+1}$，
令$\lambda=\sqrt{a+1}\geq 0$，得$k=\lambda^2-\lambda=(\lambda-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，
又$a\lt b$，故$\sqrt{a+1}\lt \sqrt{b+1}$，
$\because \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}=1$，所以$\sqrt{a+1}\in [0,\frac{1}{2})$，
$\therefore 0\leq \lambda\lt \frac{1}{2}$.
故实数$k$的取值范围为$-\frac{1}{4}\lt k\leq 0$.
故答案为：$(-\frac{1}{4},0]$.