25~26高三上·黑龙江大庆二模·第14题

$2646$

【题目】已知正项数列${a_{n}}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=1$，且$a_{n}=\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}\left(n\in\mathbf{N}^{},n\geq 2\right)$.若在$a_{k}$和$a_{k+1}\left(k\in\mathbf{N}^{}\right)$中插入$k$个相同的数$(-1)^{k+1}\cdot k$，构成一个新数列${b_{n}}$，即$a_{1},1,a_{2},-2,-2,a_{3},3,3,3,a_{4},\dots$，记数列${b_{n}}$的前$n$项和为$T_{n}$，则$T_{2026}=\underline{\quad\quad}$.

【答案】$2646$

【解析】因为$a_{n}>0$，所以前$n$项和$S_{n}>0$.
所以当$n\geq 2$时，$S_{n}-S_{n-1}=\left(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}\right)\left(\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}\right)$
因为$a_{n}=\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}\left(n\in\mathbf{N}^{},n\geq 2\right)$， 所以$a_{n}=a_{n}\left(\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}\right)\left(n\in\mathbf{N}^{},n\geq 2\right)$，可得$\sqrt{S_{n}}-\sqrt{S_{n-1}}=1\left(n\in\mathbf{N}^{},n\geq 2\right)$. 所以数列${\sqrt{S_{n}}}$是首项和公差均为$1$的等差数列， 所以$\sqrt{S_{n}}=n$，即$S_{n}=n^{2}$. 当$n\geq 2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1$， 又$a_{1}=1$满足上式，所以$a_{n}=2n-1\left(n\in\mathbf{N}^{}\right)$.

新数列${b_{n}}$中从$a_{1}$到$a_{k+1}$共有
$k+1+\left(1+2+\dots +k\right)$$=\frac{(k+1)(1+k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$项.
当$k=62$时，$\frac{63\times 64}{2}=2016$；
当$k=63$时，$\frac{64\times 65}{2}=2080$.

所以$T_{2026}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{63}+1+2\times(-2)+3\times 3+$$\dots -62\times 62+(2026-2016)\times 63$
$=\frac{(1+125)\times 63}{2}+1-2^{2}+3^{2}-\dots -62^{2}+10\times 63$
$=63\times 63+\left(1^{2}-2^{2}\right)+\left(3^{2}-4^{2}\right)+$$\dots +\left(61^{2}-62^{2}\right)+10\times 63$
$=63\times 63-(1+2+3+\dots +62)+10\times 63$
$=3969-\frac{(1+62)\times 62}{2}+10\times 63=2646$.

故答案为：$2646$.