25~26高一上·哈尔滨十四中期末·第14题

$\frac{1}{2}$

【题目】$\sin138^\circ – \cos12^\circ + \sin54^\circ =$______．

【答案】$\frac{1}{2}$

【解析】因为$\sin54^\circ=\cos36^\circ$，
所以$\sin(18^\circ\times2+18^\circ)=\cos(18^\circ\times2)$，

而$\sin(18^\circ\times2+18^\circ)$$=\sin(18^\circ\times2)\cos18^\circ+\cos(18^\circ\times2)\sin18^\circ$
$=2\sin18^\circ\cos^218^\circ+(1-2\sin^218^\circ)\sin18^\circ$$=2\sin18^\circ-2\sin^318^\circ+\sin18^\circ-2\sin^318^\circ$
$=3\sin18^\circ-4\sin^318^\circ$，
且$\cos(18^\circ\times2)=1-2\sin^218^\circ$，

所以$3\sin18^\circ-4\sin^318^\circ=1-2\sin^218^\circ$，即$(\sin18^\circ-1)(4\sin^218^\circ+2\sin18^\circ-1)=0$，

所以$4\sin^218^\circ+2\sin18^\circ-1=0$，解得$\sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，

所以$\cos36^\circ=1-2\sin^218^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，所以$\sin54^\circ=\cos36^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，

法1：原式$=\sin(150^\circ-12^\circ)-\cos12^\circ+\sin54^\circ$$=\frac{1}{2}\cos12^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin12^\circ-\cos12^\circ+\sin54^\circ$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin12^\circ-\frac{1}{2}\cos12^\circ+\sin54^\circ$$=\sin54^\circ-\sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{2}$；

法2：原式$=\sin(90^\circ+48^\circ)-\cos12^\circ+\sin54^\circ$$=\cos48^\circ-\cos12^\circ+\sin54^\circ$，
由和差化积公式得$\cos48^\circ-\cos12^\circ=-2\sin30^\circ\sin18^\circ=-\sin18^\circ$，
故原式$=\sin54^\circ-\sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{2}$；

故答案为：$\frac{1}{2}$．