圆柱体表面的向量 “纠葛”,点积最小值 “寻底” 之旅

$-25.5$

【题目】已知在底面半径为$1$且高为$10$的圆柱体的表面上有三个动点$A$、$B$、$C$，则$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$的最小值为__.

【答案】$-25.5$
【解析】建系，设圆柱体底面圆心在原点$O(0,0,0)$，高为10，底面半径1,圆柱体表面上任意点可表示为：
$P(\cos\theta, \sin\theta, z)$，其中$\theta \in [0, 2\pi)$（方位角），$z \in [0, 10]$（高度）.

利用旋转对称性，固定点$A$在$x-z$平面的母线上：$A(1, 0, z_0)$（$z_0 \in [0, 10]$）.

设$B(\cos\alpha, \sin\alpha, z_1)$，$C(\cos\beta, \sin\beta, z_2)$，则向量：
$\overrightarrow{AB} = (\cos\alpha – 1, \sin\alpha, z_1 – z_0)$，
$\overrightarrow{AC} = (\cos\beta – 1, \sin\beta, z_2 – z_0)$.

点积展开为：
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\cos\alpha – 1)(\cos\beta – 1) + \sin\alpha \sin\beta $$+ (z_1 – z_0)(z_2 – z_0) = H + V$,

其中$H = (\cos\alpha – 1)(\cos\beta – 1) + \sin\alpha \sin\beta$，$V = (z_1 – z_0)(z_2 – z_0)$,

$H = \cos(\alpha – \beta) – \cos\alpha – \cos\beta + 1 $$= 2\cos^2(\frac{\alpha – \beta}{2}) – 2\cos\frac{\alpha – \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$.

令$x = \cos\frac{\alpha – \beta}{2}$，$y = \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$，则$x, y \in [-1, 1]$,

$H = 2x^2 – 2xy$，看成关于$x$的二次函数,

当$x > 0$时，$y = 1$时才能取得最小值，
当$x < 0$时，$y = -1$才能取得最小值，
$x = 0$时，$H = 0$.

由对称性，不妨设$x > 0$，则$y = 1$，
则$H = 2x^2 – 2x = 2x(x – 1)$，
这是开口向上的二次函数，对称轴$x = \frac{1}{2}$，此时取得最小值$-\frac{1}{2}$

$V = (z_1 – z_0)(z_2 – z_0)$，$z_0, z_1, z_2 \in [0, 10]$.
看成关于$z_0$的二次函数，在$z_0 = \frac{z_1 + z_2}{2}$处，有最小值：$ -(\frac{z_1 – z_2}{2})^2 \geq -(\frac{10 – 0}{2})^2 = -25$.

综上，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$的最小值为$-\frac{1}{2} – 25 = -25.5$.