25~26高三上·湖北部分市州1月联考·第13题

$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

【题目】已知双曲线$C:\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，过$C$的左焦点$F$的直线$l$与圆$O:x^2+y^2=1$相切于$M$，与$C$的右支交于点$R$，若$FR$的中点为$N$，则$|ON|-|MN|=$_______.

【答案】$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

【解析】由双曲线$C:\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$，
可得$a^2=2$，$b^2=2$，则$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4}=2$，
因此左焦点$F(-2,0)$，双曲线的实半轴长$a=\sqrt{2}$.

因为圆$O:x^2+y^2=1$，所以圆心为原点$O$，半径$r=1$.
又因为直线$l$与圆$O$相切于$M$，所以$OM \perp FM$，
在$Rt\triangle OMF$中：
$|FM|=\sqrt{|OF|^2-|OM|^2}$$=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

设双曲线的右焦点为$F_2(2,0)$，
$N$是$FR$的中点，$O$是$F,F_2$的中点，
根据三角形中位线定理，$|ON|=\frac{1}{2}|RF_2|$.

由双曲线定义，$|RF|-|RF_2|=2a=2\sqrt{2}$，
即$|RF_2|=|RF|-2\sqrt{2}$，
因此$|ON|=\frac{1}{2}\left(|RF|-2\sqrt{2}\right)$$=\frac{1}{2}|RF|-\sqrt{2}$.

因为$N$是$FR$的中点，故$|FN|=\frac{1}{2}|RF|$，
则$|MN|=|FN|-|FM|=\frac{1}{2}|RF|-\sqrt{3}.$

所以$|ON|-|MN|$$=\left(\frac{1}{2}|RF|-\sqrt{2}\right)-\left(\frac{1}{2}|RF|-\sqrt{3}\right)$$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

故答案为：$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.