25~26高三上·重庆期中·第14题

$3$

【题目】已知函数$f(x)=a\sin x$，$a\in\mathbf{Z}$.若$y=f(f(x))$的零点恰为$y=f(x)$的零点，则$a$的最大值是__.

【答案】$3$

【解析】设$A={x|f(x)=0}$，$B={x|f(f(x))=0}$，
显然，集合$A$非空.
当$a=0$时，显然$A=B$，
以下设$a\neq0$，
此时$A={x|a\sin x=0}$，$B={x|a\sin(a\sin x)=0}={x|a\sin x=k\pi,k\in\mathbf{Z}}$.
易知，$B\subseteq A$当且仅当对任意的$x\in\mathbf{R}$，
有$a\sin x\neq k\pi(k\in\mathbf{Z},k\neq0)$，
即$|a|<\pi$，
故整数$a$的最大值为$3$.
故答案为：$3$.