sin与tan的 “同号契约”，三角与对数的 “最值交锋”

B

【题目】已知函数$f(x)=\sin ax\tan bx$（$a>0,b>0$），若$f(x)\geq0$恒成立，则$\log_{\sqrt{2}}\frac{a}{1+ab}$的最大值为（ ）
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$

【答案】B

【解析】因为函数$f(x)\geq0$恒成立，所以$\sin ax$与$\tan bx$同号或为$0$，
则$\sin ax$与$\tan bx$周期相同，即$\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{b}$，可得$a=2b>0$，
则$\frac{a}{1+ab}=\frac{2b}{1+2b^2}=\frac{2}{\frac{1}{b}+2b}$，
所以$\frac{1}{b}+2b\geq2\sqrt{\frac{1}{b}\cdot2b}=2\sqrt{2}$，则$\frac{2}{\frac{1}{b}+2b}\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当$\frac{1}{b}=2b$，即$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，
所以$\log_{\sqrt{2}}\frac{a}{1+ab}\leq\log_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$.
故选：B.