25~26高三上·山西三晋联盟1月联考·第14题

$[-3, 3]$

【题目】若对任意的$x \in [1, 2]$，不等式$\left|2ax^2 + (3a + 2b)x – \frac{4a}{x}\right| \leq x$恒成立，则$2b – 4a$的取值范围为_.

【答案】$[-3, 3]$

【解析】对任意的$x \in [1, 2]$，

不等式$\left|2ax^2 + (3a + 2b)x – \frac{4a}{x}\right| \leq x$
等价于$\left|a\left(2x + 3 – \frac{4}{x^2}\right) + 2b\right| \leq 1$恒成立.

函数$y=2x+3$，$y=-\frac{4}{x^2}$在$[1,2]$上都单调递增，
则函数$f(x)=2x+3-\frac{4}{x^2}$在$[1,2]$上单调递增，
则$f(x) \in [1, 6]$.

因此$-1 \leq a + 2b \leq 1$，$-1 \leq 6a + 2b \leq 1$,

又$2b – 4a = 2(a + 2b) – (6a + 2b)$，

则$-3 \leq 2b – 4a \leq 3$

所以$2b – 4a$的取值范围为$[-3, 3]$.

故答案为：$[-3, 3]$.