正负变量“变形记”，x-y最小值的“破局”之路

$4$

【题目】已知$x>0,y<0$，$y – \frac{2}{y}=x – \frac{2}{x} – 2$，则$x – y$的最小值是_____.

【答案】$4$
【解析】问题等价于$x,y>0$，$x + y – 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 2$，求$x + y$最小值.
由$2 = x + y – 2(\frac{x + y}{xy}) \leq x + y – \frac{8}{x + y}$，且$x + y > 0$，
解得$x + y \geq 4$，当$x = y = 2$时取等号.
故答案为：$4$.