25~26高三上·辽宁大连双基模拟·第14题

$\boldsymbol{3}$

【题目】连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为$\frac{1}{2}$），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为$X$，若$E(X) < M$（$M$为正整数），则$M$的最小值为_.

【答案】$\boldsymbol{3}$

【解析】抛掷总次数 $X \in {2,3,4,\dots,50}$，

$P(X=i)=\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1} \times \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{i-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}$,$\quad i=2,3,4,\dots,49$，

$P(X=50)=\left(\frac{1}{2}\right)^{49} + \left(\frac{1}{2}\right)^{49} = \left(\frac{1}{2}\right)^{48}$，

所以$E(X)=2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 + $$\dots + 49 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{48} + 50 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{48}$，

$\frac{1}{2}E(X)=2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 + $$\dots + 48 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{48} + 49 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{49} + 50 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{49}$，

两式相减得$\frac{1}{2}E(X)=1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + $$\dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{48} + 51 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{49} – 50 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{49}$

$=1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{48} + \left(\frac{1}{2}\right)^{49}$

$=1 + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^{50}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} – \left(\frac{1}{2}\right)^{49}$

因此$E(X)=3 – \left(\frac{1}{2}\right)^{48} < 3$，

所以正整数$M$的最小值为$3$.

故答案为：$\boldsymbol{3}$.