25~26高三上·江苏徐州五校12月联考·第5题

B

【题目】已知直线$l_1:mx + y – m – 3 = 0$与$l_2:x – my + m – 3 = 0$相交于点$M$，直线$AB$的方程为$x + y + 2 = 0$，则点$M$到直线$AB$距离的最大值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $4\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $3\sqrt{2}$

【答案】B

【解析】因为直线$l_1:mx + y – m – 3 = 0$与$l_2:x – my + m – 3 = 0$相交于点$M$，

直线$l_1:mx + y – m – 3 = 0$变形为$l_1:m(x-1) + y – 3 = 0$，过定点$P(1,3)$；

直线$l_2:x – my + m – 3 = 0$变形为$l_2:x – 3 – m(y – 1) = 0$，过定点$Q(3,1)$.

因为$m \cdot 1 + 1 \cdot (-m) = 0$，所以$l_1 \perp l_2$，所以点$M$的轨迹是以$PQ$为直径的圆.

$PQ$的中点坐标为$(2,2)$，半径为$\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}\sqrt{(1-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2}$，

所以圆的方程为$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$.

由于圆心$(2,2)$到直线$AB:x + y + 2 = 0$的距离为
$\frac{|2 + 2 + 2|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$,

所以点$M$到直线$AB$距离的最大值为$3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

故选：B.