25~26高三上·安徽期中联考·第14题

$\frac{1}{2}$

【题目】已知正数$a$满足$2^{a^2} = \frac{1}{a}$，则$a^2 = $________．

【答案】$\frac{1}{2}$
【解析】设$t = a^2 > 0$，则$a = t^{\frac{1}{2}}$，
又$2^{a^2} = \frac{1}{a}$，所以$2^t = \frac{1}{a}$，
则$a = \left(\frac{1}{2}\right)^t$，因此$t^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^t$，
取对数得$\frac{1}{2}\ln t = t\ln\frac{1}{2}$，即$\frac{\ln t}{t} = \frac{\ln\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$，
令$f(t) = \frac{\ln t}{t}$，则$f'(t) = \frac{1 – \ln t}{t^2}$，
令$f'(t) = 0$，解得$t = e$．
当$t \in (0, e)$时，$f'(t) > 0$恒成立，
所以$f(t)$单调递增，
当$t \in (e, +\infty)$时，$f'(t) < 0$恒成立， 所以$f(t)$单调递减， 又当$t \in (0, 1)$时，$f(t) < 0$恒成立， 当$t \in (1, +\infty)$时，$f(t) > 0$恒成立，
因此只有当$t = \frac{1}{2}$时才满足条件，
即$a^2 = t = \frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$.