25~26高三上·河北名校联盟一模·第14题

$8640$

【题目】如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将$1$，$2$，…，$9$九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有_____种.

【答案】$8640$

【解析】将三个有阴影的圆中填入的数字用$a,b,c$表示：

当$a,b,c$为$9,8,7$时，有$A_3^3A_6^6 = 4320$种填法；
当$a,b,c$为$9,8,6$时，则$7$不能与$6$相邻，故$7$有$A_4^1$种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有$A_5^5$种情况，有$A_3^3A_4^1A_5^5 = 2160$种填法；
当$a,b,c$为$9,8,5$时，则与$5$相邻的只能是$4,3,2,1$中的三个数字，有$A_3^3A_4^3A_3^3 = 864$种填法；
当$a,b,c$为$9,8,4$时，则与$4$相邻的只能是$3,2,1$，有$A_3^3A_3^3A_3^3 = 216$种填法；
当$a,b,c$为$9,7,6$时，则$8$与$9$相邻且$8$只有$1$种位置，有$A_3^3A_5^5 = 720$种填法；
当$a,b,c$为$9,7,5$时，则$8$与$9$相邻且$8$只有$1$种位置，$6$不与$5$相邻有$2$种位置选择，有$A_3^3A_2^1A_4^4 = 288$种填法；
当$a,b,c$为$9,7,4$时，则$8$与$9$相邻且$8$只有$1$种位置，与$4$相邻的只能是$3,2,1$，故有$A_3^3A_3^3A_2^2 = 72$种填法.

所以填法共有：$4320 + 2160 + 864 $$+ 216 + 720 + 288 + 72 = 8640$（种）.

故答案为：$8640$.