因式分解凑积，基本不等式破题

$4\sqrt{2} – 3$

【题目】已知$a \geq -1$，$b$为正实数，且$(a + b)(a + 2b) + 2a + 3b = 3$，则$3a + 4b$的最小值为______．

【答案】$4\sqrt{2} – 3$

【解析】因为$(a + b)(a + 2b) + 2a + 3b = 3$，
所以$(a + b + 1)(a + 2b + 1) = 4$，
因为$a \geq -1$，$b$为正实数，
所以$a + b + 1 > 0$，$a + 2b + 1 > 0$，

$3a + 4b + 3 = (a + 2b + 1) + 2(a + b + 1) $$\geq 2\sqrt{(a + 2b + 1) \cdot 2(a + b + 1)}$$ = 2\sqrt{2 \times 4} = 4\sqrt{2}$，

当且仅当$(a + 2b + 1) = 2(a + b + 1)$，即$a = -1, b = \sqrt{2}$时等号成立，
故$3a + 4b$的最小值为$4\sqrt{2} – 3$．

故答案为：$4\sqrt{2} – 3$.