24~26高三上·衡水中学11月调研·第14题

$249$

【题目】$9^{2025}$的百位、十位、个位所对应的数字按原顺序排列构成的三位数是______．

【答案】$249$

【解析】因为$9^{2025} = (-1 + 10)^{2025}$$= \sum_{k=0}^{2025}\mathrm{C}{2025}^{k}10^{k}(-1)^{2025 – k}$， 当$k \geq 3$时，$\mathrm{C}{2025}^{k}10^{k}(-1)^{2025 – k}$必为$10^{3}$的倍数，
即末三位均为$0$，不会对展开式中百位、十位、个位产生影响，
当$k = 2$时，可得$-\mathrm{C}{2025}^{2}10^{2} = -2025 \times 1012 \times 10^{2} $$= -405 \times 506 \times 10^{3}$，末三位均为$0$． 考虑$k = 0, 1$的情况： 当$k = 0$，$\mathrm{C}{2025}^{0}10^{0}(-1)^{2025} = -1$；
当$k = 1$，$\mathrm{C}_{2025}^{1}10^{1}(-1)^{2024} = 20250$；
所以将这两项相加得到$20249$，取后三位即$249$．

故答案为：$249$．