25~26高三上·湖南株洲一模·第13题

【题目】从集合$M={y\mid y=e^x,x\in\mathbb{R}}$中任取两个不同的数$a,b$组成一个新的数$t=\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，则$t$的取值范围为__.

【答案】$(1,\sqrt{2})$

【解析】因为$y=e^x>0$，
所以$M={y\mid y=e^x}=(0,+\infty)$，
所以$a>0,b>0$且$a\neq b$.

设$\vec{m}=(a,b)$，$\vec{n}=(1,1)$，$\vec{m}$与$\vec{n}$的夹角为$\theta$，
则$t=\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$=\sqrt{2}\times\dfrac{a+b}{\sqrt{2}\times\sqrt{a^2+b^2}}$$=\sqrt{2}\times\dfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\sqrt{2}\cos\theta.$

因为$a>0,b>0$且$a\neq b$，
所以$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$，故$\cos\theta\in\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，
所以$t=\sqrt{2}\cos\theta\in(1,\sqrt{2})$.

故答案为：$(1,\sqrt{2})$