25~26高三上·湖北十一校12月质检·第8题

C

【题目】已知函数$f(x)$及其导数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，$f'(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，$f'(1+x)$为奇函数，若$2^a = \frac{4}{3}$，$4^b = 5$，$3^c = 4$，则（ ）
A．$f(a) < f(b) < f(c)$
B．$f(b) < f(a) < f(c)$
C．$f(b) < f(c) < f(a)$
D．$f(c) < f(b) < f(a)$

【答案】C
【解析】因为$f'(1+x)$为奇函数，
所以$f'(1+x) = -f'(1-x)$，
令$x=0$，则$f'(1) = -f'(1)$，故$f'(1)=0$，
又$f'(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以当$x < 1$时，$f'(x) < 0$，则$f(x)$单调递减； 当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，则$f(x)$单调递增；
又因为$f'(1+x) = -f'(1-x)$，
则$f'(1+x) + f'(1-x) = 0$，
$f(1+x) – f(1-x) = C(C \in \mathbf{R})$.①
在①式中令$x=0$，可得$f(1) – f(1) = C$，故$C=0$，
所以$f(1+x) = f(1-x)$，
因为$2^a = \frac{4}{3}$，$4^b = 5$，$3^c = 4$，
所以$a = \log_2\frac{4}{3} < 1$，$b = \log_4 5 > \log_4 4 = 1$，$c = \log_3 4 > \log_3 3 = 1$，
因为$f(1+x) = f(1-x)$，
所以$f(a) = f\left( \log_2\frac{4}{3} \right) $$= f\left( 2 – \log_2\frac{4}{3} \right) = f(\log_2 3)$，
因为$4(\ln 2)(\ln 4) \leq (\ln 2 + \ln 4)^2 $$= (\ln 8)^2 < (\ln 9)^2 = 4(\ln 3)^2$，

由于$\ln 2 \neq \ln 4$，故上式等号不成立，
则$(\ln 2)(\ln 4) < (\ln 3)^2$， 又$\ln 3 > 0$，$\ln 2 > 0$，所以$\frac{\ln 4}{\ln 3} < \frac{\ln 3}{\ln 2}$，即$\log_3 4 < \log_2 3$，即$c < \log_2 3$，
同理可得$b < c$，所以$1 < b < c < \log_2 3$，
所以$f(b) < f(c) < f(\log_2 3)$，

即$f(b) < f(c) < f(a)$．

故选：C.