25~26高三上·合肥一中12月测评·第8题

C

【题目】已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为（ ）
A．$\frac{49}{3}\pi$
B．$\frac{49}{2}\pi$
C．$49\pi$
D．$98\pi$

【答案】C
【解析】如图，作出符合题意的图形，

设三个半径为3的白球的球心分别为$A, B, C$，设红球半径为$r$，球心为$D$，
连接$AB, BC, AC, AD, BD, CD$，
则$D$在平面$ABC$上的射影为底面正三角形$ABC$的外心$G$，
可得$BG = \frac{2}{3} \times \sqrt{6^2 – 3^2} = 2\sqrt{3}$，
三棱锥$D – ABC$为正三棱锥，侧棱$DB = r + 3$，
再设大球的球心为$O$，由对称性可得，$O$在线段$DG$上，
要使大球与四个小球都内切，
则$OD = 7 – r$，$OB = 7 – 3 = 4$，$\therefore OG = \sqrt{OB^2 – BG^2} = 2$，
又$\because BG^2 + DG^2 = BD^2$，$\therefore 12 + (2 + 7 – r)^2 = (r + 3)^2$，解得$r = \frac{7}{2}$，
则红球的表面积$S = 4\pi r^2 = 49\pi$．

故选：C．