25~26高二上·杭州二中期中·第14题

$5 – 4\sqrt{3}$

【题目】已知$x, y > 0$，$xy = 6$，则$x + y – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2}$的最大值是_____．

【答案】$5 – 4\sqrt{3}$

【解析】因为$x, y > 0$，$xy = 6$，设$t > 0$，
$x + y – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2}$
$= \sqrt{(x + y + t)^2} – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2} – t$
$= \sqrt{x^2 + y^2 + t^2 + 2xy + 2tx + 2ty} – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2} – t$
$= \sqrt{(x + t)^2 + (y + t)^2 + 12 – t^2} – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2} – t$，
令$12 – t^2 = 0$，则$t = 2\sqrt{3}$，
则上式为$\sqrt{(x + 2\sqrt{3})^2 + (y + 2\sqrt{3})^2} – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2} – 2\sqrt{3}$．

设$P(x, y)$，$A(-2\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$，$B(-3, -2)$，
点$P$为双曲线$y = \frac{6}{x}$位于第一象限的点．
$\sqrt{(x + 2\sqrt{3})^2 + (y + 2\sqrt{3})^2} – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2}$可以看成点$P$到点$A$、$B$两点的距离之差．

又$|PA| – |PB| \leq |AB| $$= \sqrt{(-3 + 2\sqrt{3})^2 + (-2 + 2\sqrt{3})^2} = 5 – 2\sqrt{3}$，
所以$x + y – \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2}$的最大值是$5 – 4\sqrt{3}$．

故答案为：$5 – 4\sqrt{3}$.