25~26高二上·广东东莞七校期中·第14题

$\frac{17\sqrt{2}}{4}$

【题目】如图，“爱心”图案由函数$f(x) = -x^2 + 4$的图像的一部分及其关于直线$y = -x$的对称图形组成，点$M$是该图案上一动点，$N$是其图象上点$M$关于直线$y = -x$的对称点，连接$MN$，则$|MN|$的最大值为_____．

【答案】$\frac{17\sqrt{2}}{4}$

【解析】由对称性可知，求$|MN|$的最大值，转化为该图案上的点到直线$x + y = 0$距离的最大值的2倍，
由对称性不妨设点为图案上$y = -x$上方的点，
联立$y = -x^2 + 4$与$y = -x$，
得$x^2 – x – 4 = 0$，解得$\frac{1 – \sqrt{17}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$，
所以图案在$y = -x$上方的点的正坐标为$\frac{1 – \sqrt{17}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$，
设图案在$y = -x$上方的点$M\left( x, -x^2 + 4 \right)$，$\frac{1 – \sqrt{17}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$，
则点$M$到直线$x + y = 0$的距离为$\frac{|x – x^2 + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| -\left( x – \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{17}{4} \right|}{\sqrt{2}}$，
当$x = \frac{1}{2}$时，取得最大值$\frac{17}{4\sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{8}$，
所以$|MN|$的最大值为$\frac{17\sqrt{2}}{4}$．

故答案为：$\frac{17\sqrt{2}}{4}$.