25~26高三上·山东枣庄一模·第14题

$\dfrac{11}{24}$

【题目】在$\triangle ABC$中，$D$，$E$在$BC$上，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC}$，$|\overrightarrow{AD}|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$的夹角为$\dfrac{\pi}{6}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的最大值为______.

【答案】$\dfrac{11}{24}$

【解析】因为$\overrightarrow{AB}$$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{ED}$$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}$$=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$，
且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$$=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{DE}$$=\overrightarrow{AD}+2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE})$$=-\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AE}$，

则
$
\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = (2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AE} ) \cdot ( – \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AE} )\; = – 2{\overrightarrow {AD} ^2} + 5\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AE} – 2{\overrightarrow {AE} ^2}
$

又因为$|\overrightarrow{AD}|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，且$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AE}$所成的夹角为$\dfrac{\pi}{6}$，
则
$
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AE}=|\overrightarrow{AD}|\cdot|\overrightarrow{AE}|\cos\angle DAE$$=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}|\overrightarrow{AE}|\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=|\overrightarrow{AE}|,
$

可得
$
\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = – 2 \times \frac{4}{3} + 5|\overrightarrow {AE} | – 2|\overrightarrow {AE} {|^2}\; = – 2{(|\overrightarrow {AE} | – \frac{5}{4})^2} + \frac{{11}}{{24}}
$

当且仅当$|\overrightarrow{AE}|=\dfrac{5}{4}$时，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的最大值为$\dfrac{11}{24}$.

故答案为：$\dfrac{11}{24}$