25~26高三上·浙江金丽衢第一次联考·第14题

$1$

【题目】设离心率为$e$的椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$。以$AF$为直径的圆与该椭圆相交于点$B$（异于点$A$），过点$B$作$x$轴的垂线，设垂足为$D$，记$\triangle FBD$，$\triangle ABD$，$\triangle FBA$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$.若$S_1$，$S_2$，$S_3$为以$q$为公比的等比数列，则$qe=$______.

【答案】$1$

【解析】如图，

因为$S_1 + S_2 = S_3$，且$S_1$，$S_2$，$S_3$为以$q$为公比的等比数列，
则$1 + q = q^2$，解得$q = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$或$q = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）.

由$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{|AD|}{|FD|} = q$，可得$|AD| = q|FD|$，得$x_B = \dfrac{a – qc}{q + 1}$.

又$|BD|^2 = |FD| \cdot |AD|$，
则$y_B^2 = (a – x_B)(x_B + c) = \dfrac{(a + c)^2 q}{(q + 1)^2}$.

将点$B$的坐标代入椭圆方程，得到$\dfrac{(a – qc)^2}{a^2(1 + q)^2} + \dfrac{(a + c)^2 q}{b^2(1 + q)^2} = 1$，
即$\dfrac{(1 – eq)^2}{(1 + q)^2} + \dfrac{(a + c)q}{a^2 – c^2} = 1$，
可得$(1 – eq)^2 – (1 + q)^2 + \dfrac{(1 + e)q}{1 – e} = 0$，
即$-q(e + 1)(2 + q – qe) + \dfrac{(1 + e)q}{1 – e} = 0$.

由于$q(1 + e) \neq 0$，可得$\dfrac{1}{1 – e} = 2 + q – qe$，
化简可得$qe^2 – 2qe – 2e + (1 + q) = 0$，即$e^2 – 2q\dfrac{e}{q} + \dfrac{q + 1}{q} = 0$.

由$1 + q = q^2$可得$\dfrac{q + 1}{q} = q$，代入可得$e^2 – 2qe + q = 0$，
所以$e^2 – 2qe + q^2 – 1 = 0$，$(q – e)^2 = 1$，
解得$q – e = 1$或$q – e = -1$（舍去），
所以$e = q – 1$，则$eq = q^2 – q = 1$.

故答案为：$1$.