25~26高二上·江西12月”三新”联考·第14题

$\frac{8}{75}$

【题目】宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红、黄、白、黑4个形状、大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______.

【答案】$\frac{8}{75}$

【解析】某人先后两次任意摸取小球，每次至少摸取1个小球，
则每次摸球的情况有
$\mathrm{C}_4^1 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_4^3 + \mathrm{C}_4^4 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15$种，
所以先后两次任意摸取小球共有$15 \times 15 = 225$种情况.

两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且总分为7分的情况有：
第一次摸取1个球，第二次摸取4个球，情况共有$\mathrm{C}_3^1 \cdot \mathrm{C}_4^4 = 3$种；
第一次摸取2个球，第二次摸取3个球，情况共有$\mathrm{C}_3^2 \cdot \mathrm{C}_2^1 + \mathrm{C}_3^1 \cdot \mathrm{C}_3^3 = 9$种；
第一次摸取3个球，第二次摸取2个球，情况共有$\mathrm{C}_3^3 \cdot \mathrm{C}_3^1 + \mathrm{C}_3^2 \cdot \mathrm{C}_2^1 = 9$种；
第一次摸取4个球，第二次摸取1个球，情况共有$\mathrm{C}_4^4 \cdot \mathrm{C}_3^1 = 3$种.

因为每次摸到球的各种不同情况等可能，
所以两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，
且总分为7分的概率为$P = \frac{3 + 9 + 9 + 3}{225} = \frac{24}{225} = \frac{8}{75}$.