25~26高三上·浙江杭州二中期末·第14题

$41$

【题目】已知集合$M = {1,2,3,4,5}$，$f(x)$是$M \to M$的函数，且满足$f(f(x)) = 1$，则这样的函数$f(x)$的个数为______.

【答案】$41$

【解析】由$f(f(x)) = 1$可知，函数$f(x)$的值域中的任何元素$y$都满足$f(y) = 1$.
因为值域非空，所以$1$必在值域中，即$f(1) = 1$.

若仅有$f(1) = 1$，则对任意$x \in {2,3,4,5}$，有$f(x) \in {2,3,4,5}$.
此时对于$x \in {2,3,4,5}$，令$y = f(x)$，则$y \in {2,3,4,5}$，而$f(f(x)) = f(y) = 1$，这与仅有$f(1) = 1$的假设矛盾.
故${2,3,4,5}$中至少有一个元素的函数值为$1$.

具体分类如下：

1.若$5$个函数值都为$1$，此时共有$1$种情况；
2.若仅有$4$个函数值为$1$，又$f(1) = 1$，则另外$4$个中应有$3$个函数值为$1$，有$C_4^3 = 4$种.
如$f(2) = f(3) = f(4) = 1$，依题意$f(5)$只能从$2,3,4$中取值，有$3$种情况，此时共有$4 \times 3 = 12$种；
3.若仅有$3$个函数值为$1$，又$f(1) = 1$，则另外$4$个中应有$2$个函数值为$1$，有$C_4^2 = 6$种.
如$f(2) = f(3) = 1$，依题意$f(4), f(5)$只能从$2,3$中取值，有$A_2^2 = 4$种情况，此时共有$6 \times 4 = 24$种；
4.若仅有$2$个函数值为$1$，又$f(1) = 1$，则另外$4$个中应有$1$个函数值为$1$，有$C_4^1 = 4$种.
如$f(2) = 1$，依题意$f(3), f(4), f(5)$都只能取$1$，有$1$种情况，此时共有$4 \times 1 = 4$种；

综上所述，这样的函数$f(x)$的个数共有$1 + 12 + 24 + 4 = 41$个.

故答案为：$41$.