25~26高三上·福建一模·第8题

D

依题意作图如下：

由$\angle AMO + \angle QOM$$= \angle AOQ + 45^\circ + 45^\circ – \angle AOQ = 90^\circ$，知$OQ \perp QM$．
又$|OA| = |OP|$，所以$|AQ| = |QP|$．

因为直线$l$与$x$轴相交，可设直线$l$的方程为$x = ky + m$．
联立双曲线$C$与直线$l$的方程，整理得$(k^2 – 1)y^2 + 2kmy + m^2 – 1 = 0$．
故$y_P + y_Q = -\frac{2km}{k^2 – 1}$．

再将直线$l$与直线$x – y = 0$及直线$x + y = 0$分别联立，得$y_A = -\frac{m}{k – 1}$，$y_B = -\frac{m}{k + 1}$．
所以$y_A + y_B = -\frac{2km}{k^2 – 1} = y_P + y_Q$，
因此线段$AB,PQ$有相同的中点，
故$|PQ| = |AQ| = |BP|$．

因为$\angle AOB = \angle AQO = 90^\circ$，故由射影定理，有$|OQ|^2 = |AQ| \cdot |BQ| = 2|AQ|^2$，
所以$\tan \angle OAQ = \frac{|OQ|}{|AQ|} = \sqrt{2}$．

于是直线$l$的斜率$k’ = \tan(\angle OAQ + 45^\circ)$$= \frac{\sqrt{2} + 1}{1 – \sqrt{2}} = -3 – 2\sqrt{2}$．

故选：D.