25~26高三下·江西赣州摸底考试·第14题

$-\dfrac{1}{8}$

根据题意，小车向前或向后运动的概率为$\dfrac{1}{2}$，
未连续出现$2$次向后运动的概率为$P_n(n \in \mathbb{N}^*)$，
则第$n$次可能向前或向后运动：

当第$n$次是向前运动时，只要前$n-1$次未连续出现$2$次向后运动，其概率为$\dfrac{1}{2}P_{n-1}$；
当第$n$次是向后运动时，则第$n-1$次只能向前运动，且前$n-2$次未连续出现$2$次向后运动，其概率为$\dfrac{1}{4}P_{n-2}$.

$\therefore P_n = \dfrac{1}{2}P_{n-1} + \dfrac{1}{4}P_{n-2},\ n \ge 3,n \in \mathbb{N}^*$，$P_1 = 1$，$P_2 = \dfrac{3}{4}$。

即
$
P_{n+3} = \dfrac{1}{2}P_{n+2} + \dfrac{1}{4}P_{n+1} \quad \text{①},
$
$
P_{n+2} = \dfrac{1}{2}P_{n+1} + \dfrac{1}{4}P_n \quad \text{②}.
$

由②得$P_{n+1} = 2P_{n+2} – \dfrac{1}{2}P_n$，代入①：
$
P_{n+3} = \dfrac{1}{2}P_{n+2} + \dfrac{1}{4}\left(2P_{n+2} – \dfrac{1}{2}P_n\right)$$= P_{n+2} – \dfrac{1}{8}P_n,
$
即$P_{n+3} – P_{n+2} = -\dfrac{1}{8}P_n$.

$\therefore \dfrac{P_{2027} – P_{2026}}{P_{2024}} = \dfrac{-\dfrac{1}{8}P_{2024}}{P_{2024}} = -\dfrac{1}{8}$.