25~26高三上·长春一模·第8题

D

由$f(x)+f(x-2)=0$可得$f(x)=-f(x-2)$，

用$x+2$替换$x$，则$f(x+2)=-f(x+2-2)=-f(x)$，

即$f(x+4)=f\left[(x+2)+2\right]=-f(x+2)=f(x)$，

所以函数$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，

由$f(x)+f(x-2)=0$，令$x=2$，则$f(2)+f(0)=0$，

且$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，则$f(0)=0$，所以$f(2)=0$，

令$x=3$，则$f(3)+f(1)=0$，且$f(1)=-f(-1)=-2$，则$f(3)=2$，

令$x=4$，则$f(4)+f(2)=0$，因为$f(2)=0$，所以$f(4)=0$，

所以$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-2+0+2+0=0$，

则$f(1)+f(2)+\cdots +f(2026)$

$=506\left[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\right]+f(1)+f(2)$

$=f(1)+f(2)=-2$．

故选：D.