25~26高三上·长郡中学月考(五)·第8题

D

$\because I$为$\triangle F_1PF_2$的内心，
$\therefore I$为角平分线交点，
又$\because \overrightarrow{PI}=2\overrightarrow{ID}$，
故$\frac{|PF_1|}{|F_1D|}=\frac{|PF_2|}{|F_2D|}=\frac{|PI|}{|ID|}=2$，
$\therefore \frac{|PF_1|+|PF_2|}{|F_1D|+|F_2D|}=\frac{|PF_1|+|PF_2|}{2c}=2$，
$\therefore |PF_1|+|PF_2|=4c$，
又$\because |PF_1|-|PF_2|=2a$，
$\therefore |PF_1|=2c+a,|PF_2|=2c-a$，
$\because$直线$PF_2$的斜率为$2\sqrt{2}$，$\therefore \cos\angle PF_2F_1=-\frac{1}{3}$，
在$\triangle F_1PF_2$中，由余弦定理得$(2c+a)^2=(2c-a)^2+(2c)^2 -$$2\times(2c-a)\times2c\times\left(-\frac{1}{3}\right)$，
整理得$e=\frac{c}{a}=\frac{7}{5}$，故D正确．
故选：D.