25~26高三上·河北邢台名校协作体·第14题

C

$\because |\vec{a}-2\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|$，
$\therefore |\vec{a}-2\vec{b}|^2=|\vec{a}+\vec{b}|^2$，
$\therefore (\vec{a})^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4(\vec{b})^2=(\vec{a})^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+(\vec{b})^2$，
即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{(\vec{b})^2}{2}=\frac{|\vec{b}|^2}{2}$，

$\because \vec{a}-\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影向量为$\frac{1}{2}\vec{a}$，
$\therefore \frac{(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{a}$，即$\frac{(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|^2}=\frac{1}{2}$，
整理得：$|\vec{a}|^2=2(\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}$，化简得：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{|\vec{a}|^2}{2}$．

$\therefore \frac{|\vec{a}|^2}{2}=\frac{|\vec{b}|^2}{2}$，
$\therefore |\vec{a}|=|\vec{b}|$，

$\therefore \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$
$=|\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{|\vec{a}|^2}{2}$，
$\therefore \cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{1}{2}$，
$\therefore \langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$，

$|t\vec{a}-\vec{b}|^2=t^2|\vec{a}|^2-2t\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$
$=t^2|\vec{a}|^2-2t|\vec{a}|^2\cdot\cos\frac{\pi}{3}+|\vec{a}|^2$
$=t^2|\vec{a}|^2-t|\vec{a}|^2+|\vec{a}|^2$
$=|\vec{a}|^2(t^2-t+1)$．

令$y=t^2-t+1$，则$y=t^2-t+1=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$，
$\therefore t=\frac{1}{2}$时，$y_{\min}=\frac{3}{4}$，

$\therefore |t\vec{a}-\vec{b}|^2_{\min}=\frac{3}{4}|\vec{a}|^2=(\sqrt{3})^2$，
$\therefore |\vec{a}|^2=4$，解得：$|\vec{a}|=2$．

故选：C.