25~26高三下·湖南新高考教学教研联盟·第13题

$\boldsymbol{\sqrt{7}}$

过$B$作$BF\parallel CD$，且$BF=CD$，过$D$作$DE\parallel AB$，且$DE=AB$，

连接$AE$，$AF$，$CF$，$CE$，根据题意可知$BD\parallel AE\parallel FC$，$BD=AE=FC$.

由题意知$BD\perp AB$，$BD\perp CD$，$BF\parallel CD$，所以$BD\perp BF$，

又$AB$，$BF$是平面$ABF$内的两条相交直线，所以$BD\perp$平面$ABF$，
则三棱柱$ABF-EDC$为直三棱柱.

则三棱锥$A-BCD$与直三棱柱$ABF-EDC$的外接球相同，设其半径为$R$.

由$S=4\pi R^2=7\pi$，知$R=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$，设三角形$ABF$的外接圆半径为$r$，

则$R^2=r^2+\left(\dfrac{CF}{2}\right)^2$，求得$r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

设$AC=x$，则$AF=\sqrt{x^2-1}$，在$\triangle ABF$中，设$\angle ABF=\theta$，$AB=BF=\sqrt{3}$，

则$\cos\theta=\dfrac{AB^2+BF^2-AF^2}{2\cdot AB\cdot BF}=\dfrac{7-x^2}{6}$，$\sin\theta=\dfrac{AF}{2r}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{6}}$，

代入$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，解得$x^2=7$或$x^2=1$（舍），$\therefore x=\sqrt{7}$.