25~26高三下·陕西榆林模拟·第13题

$\boldsymbol{2}$

令$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则$\varphi'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，

所以当$0 < x < \mathrm{e}$时，$\varphi'(x)>0$，函数$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$在$(0,\mathrm{e})$上单调递增，

当$x>\mathrm{e}$时，$\varphi'(x) < 0$，函数$\varphi(x)=\dfrac{\ln x}{x}$在$(\mathrm{e},+\infty)$上单调递减，

所以$\varphi(x)\leq\varphi(\mathrm{e})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，

又当$0 < x < \mathrm{e}$时，$\varphi(x) < \dfrac{1}{\mathrm{e}}$，

当$x>\mathrm{e}$时，$0 < \varphi(x) < \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

当$a>\mathrm{e}$时，由$f(x)=0$，得$a^x-x^a=0$，得$a^x=x^a$，

两边取对数得$x\ln a=a\ln x$，

所以$\dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln x}{x}$，

当$a>\mathrm{e}$时，$0 < \varphi(a) < \dfrac{1}{\mathrm{e}}$，

所以$\varphi(x)=\varphi(a)$有$2$个相异实数根，

所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上的零点个数为$\boldsymbol{2}$.