25~26高三下·T8联考·第14题

$\boldsymbol{2^{50}-1}$

依题意得$S_1=1$，$S_2=2$.

当$n\geqslant3$时，$a_n=2S_{n-2}+1$，

即$S_n-S_{n-1}=2S_{n-2}+1$，$S_n+S_{n-1}=2(S_{n-1}+S_{n-2})+1$.

设$b_n=S_{n+1}+S_n$，

则$b_{n-1}=2b_{n-2}+1$，$n\geqslant3$，

即$b_{n-1}+1=2(b_{n-2}+1)$，$n\geqslant3$.

又$b_1+1=S_1+S_2+1=4$，

$\therefore{b_n+1}$是以$4$为首项，$2$为公比的等比数列，

$\therefore b_n+1=4\times2^{n-1}$，

$\therefore b_n=2^{n+1}-1$，

即$S_{n+1}+S_n=2^{n+1}-1$.$\therefore S_{49}+S_{50}=2^{50}-1$.